Note 2 Hierarchical Model, Mixture Distribution（階層モデル、混合分布）

2026-4-22

復習

• 条件付き確率（密度）関数、周辺確率（密度）関数
• Bayesian Rule, Bayes estimators

2.1 階層モデル（pp.163~）

• 例： Binomial-Poisson Hierarchy

  • 分布と期待値

2.1.1 定理１：Conditional expectation（証明）

2.2 Mixture Distributionの定義

• 例： Normal scale mixture distribution (現 pp.65)

• 例： Binomial-Poisson Hierarchy

  • 分布と期待値

• 例： Noncentral \(\chi^2\) distribution

• 例： Beta-binomial Hierarchy

2.2.1 定理２：Conditional variance identity（証明）

• 例： Beta-binomial Hierarchy

2.2.2 EM algorithm (pp.327)

• 例： Multiple Poisson rates
• 定理*
• EM vs MLE*
• Missing data issue*

コメント

• Posterior 分布の導出
• 不確実性を階層的にモデル化

応用

• Bayes analysis (pp.371)

  • Empirical Bayes analysis
  • Hierarchical Bayes analysis
  • Gibbs sampling

• GLMM: generalized linear mixed effects model（一般化線形混合モデル）

  • その特例： ANOVA
  • その一般化： Bayesian hierarchical model、階層ベイズ

• Meta-analysis　データの統合